Programmi GeoLog-Win kasutamine tõestusülesannete lahendamisel.

Kaire Vahi
Tartu Tamme Gümnaasium

GeoLog-Win on intelligentne õpiprogramm lihtsamate planimeetria tõestus-, konstruktsiooni- ja arvutusülesannete harjutamiseks Windows-keskkonnas. Lisainfot programmi kohta (ka programmi enda) leiate aadressil: http://www.tamme.tartu.ee/~kaire/programmist.htm
(Märkus: seisuga 14.8.2003 viit enam ei toimi. EENet)

Käesolevas artiklis käsitletava workshopi käigus kasutati programmi vaid tõestusülesannete lahendamisel. Esmalt toodi tõestusülesande lahendamise näide õpikust M. Lepik, E. Nurk, A. Telgmaa, A. Undusk "Matemaatika 8. klassile", 1997, (§ 3.5 Õpime tõestama, näide 1, lk 116) seejärel näidati sama väite tõestust programmi GeoLog-Win abil ning anti osalejatele võimalus lahendada programmi abil erinevaid tõestusülesandeid (pannes osalejad 8. klassi õpilase rolli).

Ülesanne 1: Tõestada, et lõigu keskristsirge punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel.

Õpikust võetud tõestus

Eeldus: AC = BC, s ^ AB, M ? s (vt. joonis 1)

Joonis 1

Väide: AM = BM (vt. joonis 2)

 Joonis 2

Tõestus:

(1) AC = BC (eeldus)

<ACM = <BCM = 90° (eeldus)

MC on kolmnurkade ühine külg.

(2) AM= BM, sest võrdsete kolmnurkade vastavad küljed on võrdsed.

Järelikult ACM = BCM (tunnus KNK).

Siin toodud näide on väga lihtne (tõestus koosneb vaid mõnest sammust) seetõttu on selles tõestuses ka suhteliselt vähe kasutatud nn "laest võetud" väiteid, (väiteid, mille kohta me ei ütle, kust, mis teoreemi põhjal, me need saame). Tegelikult kasutatakse koolis tõestusülesannete lahendamisel väga palju nn "laest võetud väiteid" ja kuna õpetaja ei suuda iga õpilase puhul enamasti kontrollida rohkem kui vaid tõestuse ideed, siis võibki juhtuda, et õpilased ei õpi korrektselt tõestama. Kasutades programmi GeoLog-Win peab õpilane täpselt kirja panema kõik väite eeldused - mis väide millest ja mis teoreemi kasutades saadakse, s.t. programm ei luba kasutada ühtki "laest võetud" teadmist. Lisaks kontrollib programm õpilase iga sammu ja vajadusel kommenteerib neid.

Sama tõestusülesande lahendamine GeoLog-Win abil:

Tõestusülesande esitus programmis GeoLog-Win (vt. joonis 3):

Joonis 3

Tõestusülesande lahendamine programmi GeoLog-Win abil

Tõestusülesande lahendus esitatakse programmis GeoLog-Win lahendusgraafina.

Lahendussamm:

0. Sammu alustamiseks tuleb vajutada nupule "St";

1. Valida sihtväide;

2. Valida või lisada sammu eeldused;

3. Näidata sammul kasutatav teoreem.

  1. lahendussamm (vt. joonis 4)

    Joonis 4

    Esimesel sammul väidame, et kui sirged AB ja CM on risti, siis <ACM=<BCM, kasutades teoreemi nv_ort, mis väidab, et sirge ja tema ristsirge moodustavad kaks võrdse suurusega nurka.

    Lisasime graafi uue tipu. Lahendusgraafi iga uus (mingit väidet tähistav) tipp tuleb siduda vastava väite eeldusi esitavate tippudega ning iga uue tipu juurde tuleb kirjutada, mis teoreemi abil vastav tipp on saadud.

    Õpiku tõestuses pandi seos <ACM = <BCM = 90° kirja kui eeldus. Tegelikult oli eeldus s ^ AB ja kuna on teada, et kaks ristuvat sirget moodustavad kaks võrdse suurusega nurka (kumbki 90 kraadi), siis on siin kirja pandud mitte eeldus ise, vaid eelduse nime all üks järeldus temast. Seega kasutati mingit teoreemi ilma seda ilmutatult tõestusesse kirja panemata. Lisaks on kirja pandud antud tõestuse seisukohast liigne väide, et need võrdsed nurgad on mõlemad 90° (see on küll tõsi, aga pole siin kohal oluline).

     

  2. lahendussamm (vt. joonis 5) Teisel sammul paneme kirja, et kolmnurga ACM külg MC on võrdne kolmnurga BCM vastava küljega MC ehk MC = MC.

    Õpiku tõestuses seda ilmutatult välja ei kirjutatud, programm aga nõuab, et kõik väited, mida tõestuses kasutatakse oleksid ka kirja pandud.

    Tegemist on identsusseosega, mille GeoLog-Win tunnistab tõeseks ilma põhjendamata.

    Joonis 5

     

  3. lahendussamm (vt. joonis 6) Sellel sammul väidame, et kolmnurgad MCA ja MCB on võrdsed, tunnuse KNK järgi. Seega järeldame eeldustest AC = BC, <ACM = <BCM ja MC = MC väite MCA = MCB, kasutades kolmnurkade võrdsuse tunnust KNK (programmis kannab vastav teoreem nime kolmn_knk).

     

  4. lahendussamm
Viimasel sammul järeldame seosest MCA = MCB seose MA = MB, kasutades teoreemi lv_kolmnv, mis väidab, et kahe kongruentse kolmnurga vastavad küljed on kongruentsed (võrdse pikkusega).

Seega oleme konstrueerinud väitele "lõigu keskristsirge punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel" vastava tõestusgraafi.

Joonis 6

Järgnevalt anti konverentsil osalejatele lahendamiseks mõned ülesanded 8. klassi õpikust ning lisaks veel terve hulk erinevaid tõestuülesandeid, mida on võimalik lahendada 8. klassi õpilasel olemas olevate teadmistega (need ülesanded on võetud programmile lisatud 8. klassi tõestusülesannete kogust, mis on saadaval koos programmiga).


Tagasi kogumiku sisukorda